Ar „Infinity“ būna įvairių dydžių?


1995 m. Filme „ Žaislų istorija“ , „Gung-ho“ erdvės veiksmo paveiksle „Buzz Lightyear“, nenuilstamai užsimenama: „Į begalybę ... ir už jos ribų!“ Pokštas, žinoma, yra įsišaknijęs visiškai pagrįstoje prielaidoje, kad begalybė yra nepralenkiamas absoliutus - kad nėra už jos ribų. Tačiau ši prielaida nėra visiškai

1995 m. Filme „ Žaislų istorija“, „Gung-ho“ erdvės veiksmo paveiksle „Buzz Lightyear“, nenuilstamai užsimenama: „Į begalybę ... ir už jos ribų!“ Pokštas, žinoma, yra įsišaknijęs visiškai pagrįstoje prielaidoje, kad begalybė yra nepralenkiamas absoliutus - kad nėra už jos ribų. Tačiau ši prielaida nėra visiškai patikima. Vokietijos matematikas Georgas Cantoras parodė, kad XIX a. Pabaigoje egzistuoja įvairūs begalybės - jie gali būti klasifikuojami pagal jų santykinius dydžius.

Gamtos logika

Paimkite, pavyzdžiui, vadinamuosius natūralius skaičius: 1, 2, 3 ir pan. Šie skaičiai yra neriboti, todėl visų natūralių skaičių rinkimas arba rinkimas yra begalinis. Bet kaip tai begalinis? „Cantor“ naudojo elegantišką argumentą, rodantį, kad naturals, nors ir be galo daug, iš tikrųjų yra mažiau nei kitas bendras šeimos numeris: tikrieji skaičiai. Į šį rinkinį įeina visi skaičiai, kurie gali būti pateikiami kaip dešimtainis, net jei tas dešimtainis atstovavimas yra begalinis. Taigi, pi (3.14159 ...) yra tikrasis skaičius, kaip ir 27 (kuris yra tiek natūralus, tiek realus).

Cantoro argumentas naudojo prieštaravimo logiką: jis pirmiausia manė, kad šie rinkiniai yra tokio paties dydžio; toliau jis sekė logiškų žingsnių, kad surastų trūkumą, kuris pakenktų šiai prielaidai. Jis motyvavo, kad jei naturals ir reals turi vienodą skaičių narių, tada du rinkiniai gali būti įdėti į „vienas su vienu“ korespondenciją. Tai reiškia, kad jie gali būti suporuoti taip, kad kiekviename rinkinyje kiekvienas elementas turi vieną - ir tik vieną - „partnerį“ kitame rinkinyje.

Tokiu būdu pagalvokite: net jei nėra skaitinio skaičiavimo, santykiniai kiekiai gali būti vertinami pagal „vienas su vienu“. Įsivaizduokite du nežinomo dydžio dėžes, vieną obuolių ir vieną iš apelsinų. Ištraukus vieną obuolį ir vieną oranžinį ornamentą, abu rinkiniai susivienija į obuolių apelsinų poras. Jei abiejų dėžių turinys yra ištuštintas vienu metu, abiejose dėžėse yra vienodas vaisių skaičius; jei vienas dėžė yra išnaudota prieš kitą, tas, kuriame yra likęs maistas, yra gausesnis.

Crafty Math

Taigi Cantor pradėjo daryti prielaidą, kad naturals ir reals yra tokioje korespondencijoje. Taigi kiekvienas natūralus skaičius n turi tikrą partnerį r n . Tuomet realybės gali būti išvardytos pagal jų atitinkamus natūrus: r 1, r 2, r 3 ir pan.

Tada išeina Cantor gudri pusė. Jis sukūrė realų skaičių, vadinamą p, pagal šią taisyklę: padarykite skaitmenį n po dešimtainio taško p kažką kitą nei to paties dešimtainio skaičiaus skaitmenį r n . Paprastas būdas būtų: pasirinkti 3, kai atitinkamas skaičius yra 4; kitaip pasirinkite 4.

Demonstracijos labui, tarkim, realaus skaičiaus partneris natūraliam skaičiui 1 yra 27 (arba 27.00000 ...), 2 poros pora yra pi (3.14159 ...) ir 3 yra prezidento George'o W. Busho dalis balsavimas 2000 m. (0, 47868 ...). Dabar sukurkite „ p“, atlikdami „Cantor“ statybą: pirmosios dešimtosios dalies dešimtainis skaičius p neturėtų būti lygus pirmajam dešimtainiam skaičiui po r 1 (27), kuris yra 0. Todėl pasirinkite 4 ir p prasideda 0, 4 ... (Numeris prieš dešimtainį gali būti bet koks; paprastumas yra 0). Tada pasirinkite skaičių p dešimtosios dalies po kablelio, kad jis nebūtų lygus antrame dešimtųjų tikslumu r 2 (pi), kuris yra 4. Pasirinkite 3, o dabar p = 0.43 .... Galiausiai, pasirinkite skaitmenį trečiajame dešimtainiame taške po p, kad jis nebūtų lygus atitinkamam dešimtainiam skaičiui r 3 (Prezidento Bušo procentas), kuris yra 8. Parašykite 4, darant p = 0.434 .... Taigi, turite:

Šis matematinis metodas (vadinamas diagonalizacija), tęsiamas be galo žemyn sąrašu, sukuria tikrąjį skaičių ( p ), kuris pagal jo statybos taisykles skiriasi nuo kiekvieno realaus skaičiaus sąraše bent po kablelio. Ergo, jis negali būti sąraše.

Kitaip tariant, bet kuriam naturals ir reals susiejimui egzistuoja tikrasis skaičius p be natūralaus skaičiaus partnerio - obuolys be apelsino. Todėl nepavyksta bet koks realybės ir naturalų tarpusavio ryšys, o tai reiškia, kad realių skaičių begalybė yra kažkaip didesnis nei natūralių skaičių begalybė.

Šis straipsnis iš pradžių buvo paskelbtas pavadinimu „Ar„ Begalybė ateina skirtingais dydžiais “? 298, 1, 112 (2008 m. sausio mėn.)

APIE AUTORIUS (S)

Johnas Matsonas yra kopijavimo redaktorius .

Naujausios naujienos